Chapitre 1 : Espaces vectoriels

Définitions, sous-espaces vectoriels, bases et dimension

Auteur·rice

Ibrahim BENKHERFELLAH

Modifié

27 mai 2026

Espaces vectoriels

Définitions et exemples

Définition 1.1 - Espace vectoriel réel

Un espace vectoriel réel est un ensemble $E$ muni de deux lois :

une loi de composition interne notée $+$ : $E \times E \to E$, $(x,y) \mapsto x+y$
une loi de composition externe notée $\cdot$ : $\mathbb{R} \times E \to E$, $(\lambda, x) \mapsto \lambda \cdot x$

telles que les huit propriétés suivantes sont vérifiées :

Pour la loi $+$ :

$(E,+)$ est un groupe commutatif, c’est-à-dire :
1. $\forall x,y \in E, \quad x+y = y+x$ (commutativité)
2. $\forall x,y,z \in E, \quad (x+y)+z = x+(y+z)$ (associativité)
3. $\exists 0_E \in E, \forall x \in E, \quad x + 0_E = 0_E + x = x$ (élément neutre)
4. $\forall x \in E, \exists (-x) \in E, \quad x + (-x) = (-x) + x = 0_E$ (opposé)

Pour la loi externe $\cdot$ :

$\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \forall x \in E, \quad \lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda \mu) \cdot x$
$\forall x \in E, \quad 1 \cdot x = x$
$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall x,y \in E, \quad \lambda \cdot (x+y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$
$\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \forall x \in E, \quad (\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$

Les éléments de $E$ sont appelés vecteurs et les éléments de $\mathbb{R}$ sont appelés scalaires.

Remarque

Dans la suite, on notera simplement $\lambda x$ au lieu de $\lambda \cdot x$ pour la multiplication par un scalaire.

Exemple 1.1.1 - L’ensemble $\mathbb{R}$

L’ensemble $\mathbb{R}$ est un espace vectoriel réel pour l’addition et la multiplication usuelles.

Exemple 1.1.2 - L’ensemble $\mathbb{R}^n$

Pour tout entier $n \geq 1$, l’ensemble $\mathbb{R}^n$ des $n$-uplets de nombres réels est un espace vectoriel réel pour les lois : \[ \begin{aligned} (x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n) &= (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) \\ \lambda \cdot (x_1, \ldots, x_n) &= (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n) \end{aligned} \]

Le vecteur nul est $0_{\mathbb{R}^n} = (0, \ldots, 0)$ et l’opposé de $(x_1, \ldots, x_n)$ est $(-x_1, \ldots, -x_n)$.

Exemple 1.1.3 - Les vecteurs du plan et de l’espace

L’ensemble des vecteurs du plan (respectivement de l’espace) est un espace vectoriel réel pour l’addition vectorielle et la multiplication par un scalaire définies géométriquement.

Ces espaces sont isomorphes à $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ respectivement.

Exemple 1.1.4 - L’espace des fonctions

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. L’ensemble $\mathcal{F}(I, \mathbb{R})$ des fonctions de $I$ dans $\mathbb{R}$ est un espace vectoriel réel pour les lois : \[ \begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x) + g(x) \\ (\lambda f)(x) &= \lambda f(x) \end{aligned} \]

La fonction nulle est l’élément neutre et l’opposée de $f$ est la fonction $x \mapsto -f(x)$.

Exemple 1.1.5 - L’espace des suites réelles

L’ensemble $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ des suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est un espace vectoriel réel pour les lois : \[ \begin{aligned} (u_n) + (v_n) &= (u_n + v_n) \\ \lambda \cdot (u_n) &= (\lambda u_n) \end{aligned} \]

Proposition 1.2

Soit $E$ un espace vectoriel réel. On a les propriétés suivantes :

L’élément neutre $0_E$ est unique.
Le symétrique (opposé) de chaque vecteur est unique.
$\forall x \in E, \quad 0 \cdot x = 0_E$
$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad \lambda \cdot 0_E = 0_E$
$\forall x \in E, \quad (-1) \cdot x = -x$
$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall x \in E, \quad \lambda x = 0_E \Rightarrow (\lambda = 0 \text{ ou } x = 0_E)$

Démonstration

Propriété (1) : Supposons que $0_E$ et $0_E'$ soient deux éléments neutres. Alors : \[ 0_E = 0_E + 0_E' = 0_E' \] car $0_E'$ est neutre (première égalité) et $0_E$ est neutre (seconde égalité). D’où l’unicité.

Propriété (2) : Soit $x \in E$ et supposons que $y_1$ et $y_2$ soient deux opposés de $x$, c’est-à-dire $x + y_1 = 0_E$ et $x + y_2 = 0_E$. Alors : \[ y_1 = y_1 + 0_E = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = 0_E + y_2 = y_2 \]

On note cet unique opposé $-x$.

Propriété (3) : Soit $x \in E$. On a : \[ \begin{aligned} 0 \cdot x &= (0+0) \cdot x \quad \text{(car $0 = 0+0$ dans $\mathbb{R}$)} \\ &= 0 \cdot x + 0 \cdot x \quad \text{(par distributivité)} \end{aligned} \]

En ajoutant $-(0 \cdot x)$ des deux côtés : \[ 0_E = 0 \cdot x + 0 \cdot x + (-(0 \cdot x)) = 0 \cdot x + 0_E = 0 \cdot x \]

Propriété (4) : Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. On a : \[ \begin{aligned} \lambda \cdot 0_E &= \lambda \cdot (0_E + 0_E) \quad \text{(car $0_E + 0_E = 0_E$)} \\ &= \lambda \cdot 0_E + \lambda \cdot 0_E \quad \text{(par distributivité)} \end{aligned} \]

En ajoutant $-(\lambda \cdot 0_E)$ des deux côtés, on obtient $0_E = \lambda \cdot 0_E$.

Propriété (5) : Soit $x \in E$. On veut montrer que $(-1) \cdot x$ est l’opposé de $x$, c’est-à-dire que $x + (-1) \cdot x = 0_E$. On calcule : \[ x + (-1) \cdot x = 1 \cdot x + (-1) \cdot x = (1 + (-1)) \cdot x = 0 \cdot x = 0_E \]

Par unicité de l’opposé (propriété 2), on conclut que $(-1) \cdot x = -x$.

Propriété (6) : Supposons que $\lambda x = 0_E$ avec $\lambda \neq 0$. Alors $\lambda$ est inversible dans $\mathbb{R}$ et on peut écrire : \[ x = 1 \cdot x = \left(\frac{1}{\lambda} \cdot \lambda\right) \cdot x = \frac{1}{\lambda} \cdot (\lambda \cdot x) = \frac{1}{\lambda} \cdot 0_E = 0_E \]

Donc si $\lambda \neq 0$, alors $x = 0_E$. Par contraposée : si $x \neq 0_E$, alors $\lambda = 0$.

Sous-espaces vectoriels

Définition 1.3 - Sous-espace vectoriel

Soit $E$ un espace vectoriel réel. Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si :

$0_E \in F$ (F est non vide)
$\forall x,y \in F, \quad x+y \in F$ (F est stable par addition)
$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall x \in F, \quad \lambda x \in F$ (F est stable par multiplication scalaire)

Remarque

Les conditions (2) et (3) peuvent être regroupées en une seule : $F$ est stable par combinaisons linéaires, c’est-à-dire : \[ \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \forall x,y \in F, \quad \lambda x + \mu y \in F \]

Proposition 1.4 - Vérification rapide

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $F \subset E$. Alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :

$F \neq \varnothing$
$\forall x, y \in F, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad x + \lambda y \in F$

Démonstration

$(\Rightarrow)$ Si $F$ est un sous-espace vectoriel, alors $F$ contient $0_E$ donc $F \neq \varnothing$. De plus, pour $x, y \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, on a $\lambda y \in F$ (stabilité par multiplication scalaire) puis $x + \lambda y \in F$ (stabilité par addition).

$(\Leftarrow)$ Supposons les conditions (1) et (2) vérifiées. Puisque $F \neq \varnothing$, il existe $x \in F$. En prenant $y = x$ et $\lambda = -1$ dans (2), on obtient $x + (-1)x = 0_E \in F$.

Ensuite, pour $y \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, en prenant $x = 0_E$ dans (2), on obtient $0_E + \lambda y = \lambda y \in F$ : $F$ est stable par multiplication scalaire.

Enfin, pour $x, y \in F$, en prenant $\lambda = 1$ dans (2), on obtient $x + y \in F$ : $F$ est stable par addition.

Remarque

Cette caractérisation est très pratique en exercice : au lieu de vérifier trois conditions, il suffit d’en vérifier deux. On l’utilisera souvent par la suite.

Proposition 1.5

Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel pour les lois induites.

Démonstration

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.

Par définition d’un sous-espace vectoriel, on sait que :

$F$ est non vide ;
pour tous $x,y \in F$, on a $x+y \in F$ ;
pour tout $x \in F$ et tout $\lambda \in \mathbb{R}$, on a $\lambda x \in F$.

Les lois d’addition et de multiplication par un scalaire sur $F$ sont les restrictions de celles de $E$.

Or les axiomes d’espace vectoriel (associativité, commutativité, existence du neutre, existence des opposés, distributivité, etc.) sont vérifiés dans $E$.

Comme ces propriétés sont purement algébriques et ne dépendent que des opérations, elles restent valables sur $F$.

Ainsi, $F$ muni des lois induites est un espace vectoriel.

Exemple 1.2.1

Dans $\mathbb{R}^3$, l’ensemble des vecteurs de la forme $(x, 2x, 0)$ où $x \in \mathbb{R}$ est un sous-espace vectoriel.

Vérifions les trois conditions :

$(0, 0, 0) \in F$ (prendre $x = 0$)
Si $(x_1, 2x_1, 0)$ et $(x_2, 2x_2, 0)$ sont dans $F$, alors \[ (x_1, 2x_1, 0) + (x_2, 2x_2, 0) = (x_1+x_2, 2(x_1+x_2), 0) \in F \]
Si $(x, 2x, 0) \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors \[ \lambda(x, 2x, 0) = (\lambda x, 2\lambda x, 0) \in F \]

Exemple 1.2.2 - Sous-espaces vectoriels classiques

Dans tout espace vectoriel $E$, on a toujours deux sous-espaces vectoriels triviaux :

$\{0_E\}$ (le sous-espace réduit au vecteur nul)
$E$ lui-même

Exercice

Montrer que dans $\mathbb{R}^3$, l’ensemble $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel.

Exercice

L’ensemble $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 1\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ ?

Exercice

Parmi les sous-ensembles suivants de $\mathbb{R}^2$, déterminer lesquels sont des sous-espaces vectoriels. Justifier.

$E_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 0\}$
$E_2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0\}$
$E_3 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\}$
$E_4 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y = 0\}$

Remarque

Cet exercice est fondamental pour apprendre à repérer les pièges. Les conditions du type « $xy = 0$ » ou « $x \geq 0$ » ne sont pas linéaires et posent problème pour la stabilité. En revanche, toute condition de la forme $ax + by = 0$ (équation homogène) définit un sous-espace vectoriel. C’est un critère qu’on retrouvera très souvent.

L’espace vectoriel des polynômes $\mathbb{R}[X]$

Définition 1.6 - Polynôme à coefficients réels

On appelle polynôme à coefficients réels une expression formelle de la forme : \[ P(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n \] où $n \in \mathbb{N}$ et $a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$.

L’ensemble de tous les polynômes à coefficients réels est noté $\mathbb{R}[X]$.

Définition 1.7 - Degré d’un polynôme

Soit : $\quad P(X)=\displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_i X^i \quad$ un polynôme non nul.

On appelle degré de $P$, noté $\deg(P)$, le plus grand entier $k$ tel que $a_k \neq 0$. Autrement dit, $\deg(P)=\max\{\, i \in \mathbb{N} \mid a_i \neq 0 \,\}$.

Le coefficient $a_{\deg(P)}$ est appelé coefficient dominant de $P$. Par convention : $\deg(0)=-\infty$.

Exemple 1.3.1 - Cas classique

Considérons le polynôme : $P(X)=2+3X+5X^3$. Le plus grand exposant dont le coefficient est non nul est $3$. On a donc : $\deg(P)=3$ et le coefficient dominant est $5$.

Exemple 1.3.2 - Cas particulier

Considérons : $Q(X)=4+2X+0X^2$

Bien que le terme en $X^2$ apparaisse, son coefficient est nul. Le plus grand entier $k$ tel que $a_k \neq 0$ est donc $1$. On a ainsi : $\deg(Q)=1$.

Proposition 1.8

L’ensemble $\mathbb{R}[X]$ muni de l’addition des polynômes et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel réel.

L’addition est définie par : \[ (a_0 + a_1 X + \cdots) + (b_0 + b_1 X + \cdots) = (a_0+b_0) + (a_1+b_1)X + \cdots \]

La multiplication par un scalaire est définie par : \[ \lambda(a_0 + a_1 X + \cdots) = \lambda a_0 + \lambda a_1 X + \cdots \]

Définition 1.9

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on note $\mathbb{R}_n[X]$ l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ : \[ \mathbb{R}_n[X] = \{P \in \mathbb{R}[X] \mid \deg(P) \leq n\} \]

C’est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$.

Proposition 1.10

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls. On a :

$\deg(P+Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)$
$\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$

Démonstration

La première propriété vient du fait que si $P$ et $Q$ ont des degrés différents, le polynôme de plus haut degré impose son degré à la somme. S’ils ont le même degré, une simplification peut avoir lieu.

Pour la deuxième propriété, si $P$ a pour coefficient dominant $a$ et $Q$ a pour coefficient dominant $b$, alors $PQ$ a pour coefficient dominant $ab \neq 0$ et son degré est la somme des degrés.

Exemple 1.3.3

Si $P(X) = 2X^3 + X - 1$ et $Q(X) = X^2 + 3$, alors :

$\deg(P) = 3$ et $\deg(Q) = 2$
$\deg(P+Q) = \deg(2X^3 + X^2 + X + 2) = 3 = \max(3,2)$
$\deg(PQ) = \deg(2X^5 + \cdots) = 5 = 3+2$

Dérivation des polynômes

Définition 1.11 - Polynôme dérivé

Soit $P(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$ un polynôme. On définit le polynôme dérivé de $P$, noté $P'(X)$, par : \[ P'(X) = a_1 + 2a_2 X + 3a_3 X^2 + \cdots + na_n X^{n-1} \]

Proposition 1.12

La dérivation est une opération linéaire sur $\mathbb{R}[X]$, c’est-à-dire :

$(P+Q)' = P' + Q'$
$(\lambda P)' = \lambda P'$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$

De plus, on a la règle de Leibniz : \[ (PQ)' = P'Q + PQ' \]

Exercice

Calculer la dérivée de $P(X) = X^4 - 3X^2 + 2X - 5$.

Exercice

Montrer que si $\deg(P) = n \geq 1$, alors $\deg(P') = n-1$.

Formule de Taylor pour les polynômes

Théorème 1.13 - Formule de Taylor

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ un polynôme de degré $n$ et soit $a \in \mathbb{R}$. Alors il existe des coefficients $c_0, c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{R}$ tels que : \[ P(X) = c_0 + c_1(X-a) + c_2(X-a)^2 + \cdots + c_n(X-a)^n \]

Plus précisément, on a : \[ P(X) = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k \] où $P^{(k)}$ désigne la dérivée $k$-ième de $P$ et $k! = 1 \times 2 \times \cdots \times k$.

Exemple 1.3.4

Soit $P(X) = X^3 - 2X + 1$. Calculons sa formule de Taylor en $a = 1$.

On a : \[ \begin{aligned} P(1) &= 1 - 2 + 1 = 0 \\ P'(X) &= 3X^2 - 2, \quad P'(1) = 1 \\ P''(X) &= 6X, \quad P''(1) = 6 \\ P'''(X) &= 6, \quad P'''(1) = 6 \end{aligned} \]

Donc : \[ P(X) = 0 + 1 \cdot (X-1) + \frac{6}{2}(X-1)^2 + \frac{6}{6}(X-1)^3 = (X-1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3 \]

Exercice

Écrire la formule de Taylor de $P(X) = X^2 + 3X - 4$ en $a = 2$.

Formule de Leibniz

Proposition 1.14

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes. La dérivée $n$-ième du produit $PQ$ est donnée par : \[ (PQ)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} P^{(k)} Q^{(n-k)} \] où $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial.

Remarque

Cette formule généralise la règle de Leibniz $(PQ)' = P'Q + PQ'$ (cas $n=1$).

Combinaisons linéaires

Définition 1.15 - Combinaison linéaire

Soit $E$ un espace vectoriel et soient $v_1, v_2, \ldots, v_n$ des vecteurs de $E$.

On appelle combinaison linéaire de $v_1, \ldots, v_n$ tout vecteur $x \in E$ tel qu’il existe des scalaires $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}$ vérifiant : \[ x = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_n v_n. \]

Exemple 1.4.1

Dans $\mathbb{R}^3$, le vecteur $(5, -1, 3)$ est une combinaison linéaire de $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ et $(0,0,1)$ car : \[ (5, -1, 3) = 5(1,0,0) + (-1)(0,1,0) + 3(0,0,1) \]

Exemple 1.4.2

Dans $\mathbb{R}_2[X]$, le polynôme $3X^2 - 2X + 5$ est une combinaison linéaire de $1$, $X$ et $X^2$ : \[ 3X^2 - 2X + 5 = 5 \cdot 1 + (-2) \cdot X + 3 \cdot X^2 \]

Exercice

Le vecteur $(1,2,3)$ est-il une combinaison linéaire de $(1,1,0)$ et $(0,1,1)$ dans $\mathbb{R}^3$ ?

Définition 1.16 - Espace vectoriel engendré

Soit $E$ un espace vectoriel et $F = \{v_1, \ldots, v_n\}$ une famille de vecteurs de $E$. L’espace vectoriel engendré par $F$, noté $\text{Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ ou $\text{Vect}(F)$, est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de $v_1, \ldots, v_n$ : \[ \text{Vect}(v_1, \ldots, v_n) = \{\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n \mid \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}\} \]

Proposition 1.17

Soit $F = \{v_1, \ldots, v_n\}$ une famille de vecteurs de $E$. Alors $\text{Vect}(F)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

De plus, $\text{Vect}(F)$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant tous les vecteurs $v_1, \ldots, v_n$.

Démonstration

Vérifions que $\text{Vect}(F)$ est un sous-espace vectoriel :

$0_E = 0v_1 + \cdots + 0v_n \in \text{Vect}(F)$
Si $u = \sum \lambda_i v_i$ et $w = \sum \mu_i v_i$, alors $u + w = \sum (\lambda_i + \mu_i) v_i \in \text{Vect}(F)$
Si $u = \sum \lambda_i v_i$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, alors $\alpha u = \sum (\alpha \lambda_i) v_i \in \text{Vect}(F)$

Pour montrer que c’est le plus petit, remarquons que tout sous-espace vectoriel contenant $v_1, \ldots, v_n$ doit contenir toutes leurs combinaisons linéaires par stabilité.

Exemple 1.4.3

Dans $\mathbb{R}^3$, calculons $\text{Vect}((1,0,0), (1,1,0))$.

Un vecteur de $\text{Vect}((1,0,0), (1,1,0))$ est de la forme : \[ \lambda(1,0,0) + \mu(1,1,0) = (\lambda + \mu, \mu, 0) \]

Donc $\text{Vect}((1,0,0), (1,1,0)) = \{(x,y,0) \mid x,y \in \mathbb{R}\}$ : c’est le plan $xy$.

Exercice

Dans $\mathbb{R}^3$, déterminer $\text{Vect}((1,1,1))$.

Exercice

Dans $\mathbb{R}_2[X]$, déterminer $\text{Vect}(1+X, X+X^2)$.

Familles génératrices

Définition 1.18 - Famille génératrice

Soit $E$ un espace vectoriel et $F = \{v_1, \ldots, v_n\}$ une famille de vecteurs de $E$. On dit que $F$ est une famille génératrice de $E$ si : \[ \text{Vect}(v_1, \ldots, v_n) = E \]

Autrement dit, tout vecteur de $E$ peut s’écrire comme une combinaison linéaire de $v_1, \ldots, v_n$.

Exemple 1.5.1

Dans $\mathbb{R}^3$, la famille $\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ est génératrice car tout vecteur $(x,y,z)$ s’écrit : \[ (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) \]

Exemple 1.5.2

Dans $\mathbb{R}_n[X]$, la famille $\{1, X, X^2, \ldots, X^n\}$ est génératrice car tout polynôme de degré $\leq n$ s’écrit : \[ P(X) = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot X + \cdots + a_n \cdot X^n \]

Remarque

Attention : Une famille génératrice n’est pas unique. Par exemple, dans $\mathbb{R}^2$, les familles $\{(1,0), (0,1)\}$ et $\{(1,0), (0,1), (1,1)\}$ sont toutes les deux génératrices.

Exercice

Montrer que la famille $\{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\}$ est génératrice de $\mathbb{R}^3$.

Proposition 1.19

Si $F = \{v_1, \ldots, v_n\}$ est une famille génératrice de $E$ et si on ajoute des vecteurs à $F$, alors la famille obtenue est encore génératrice.

Familles libres, familles liées

Définition 1.20 - Famille libre

Soit $E$ un espace vectoriel et $F = \{v_1, \ldots, v_n\}$ une famille de vecteurs de $E$. On dit que $F$ est libre (ou linéairement indépendante) si : \[ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0_E \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0 \]

Dans le cas contraire, on dit que $F$ est liée (ou linéairement dépendante).

Remarque

Une famille est liée s’il existe des scalaires $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ non tous nuls tels que : \[ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0_E \]

Exemple 1.6.1

Dans $\mathbb{R}^3$, la famille $\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ est libre.

En effet, si $\lambda(1,0,0) + \mu(0,1,0) + \nu(0,0,1) = (0,0,0)$, alors $(\lambda, \mu, \nu) = (0,0,0)$, d’où $\lambda = \mu = \nu = 0$.

Exemple 1.6.2

Dans $\mathbb{R}^3$, la famille $\{(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)\}$ est liée.

En effet, on a : $1 \cdot (1,0,0) + 1 \cdot (0,1,0) + (-1) \cdot (1,1,0) = (0,0,0)$ avec des coefficients non tous nuls.

Proposition 1.21

Une famille contenant le vecteur nul est liée.

Démonstration

Si $v_1 = 0_E$, alors $1 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 + \cdots + 0 \cdot v_n = 0_E$ avec le premier coefficient non nul.

Proposition 1.22

Une famille de vecteurs est liée si et seulement si l’un des vecteurs peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres.

Démonstration

$(\Rightarrow)$ Si la famille est liée, il existe $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ non tous nuls tels que $\sum \lambda_i v_i = 0_E$. Supposons $\lambda_1 \neq 0$. Alors : \[ v_1 = -\frac{\lambda_2}{\lambda_1} v_2 - \cdots - \frac{\lambda_n}{\lambda_1} v_n \]

$(\Leftarrow)$ Réciproquement, si par exemple $v_1 = \displaystyle \sum_{i=2}^n \mu_i v_i$, alors : \[ 1 \cdot v_1 + (-\mu_2) v_2 + \cdots + (-\mu_n) v_n = 0_E \] avec le premier coefficient non nul.

Exercice

Montrer que dans $\mathbb{R}^2$, la famille $\{(1,2), (2,4)\}$ est liée.

Exercice

La famille $\{1, X, X^2\}$ est-elle libre dans $\mathbb{R}_2[X]$ ?

Proposition 1.23

Soit $F = \{v_1, \ldots, v_n\}$ une famille libre et soit $v \in E$. Alors la famille $\{v_1, \ldots, v_n, v\}$ est libre si et seulement si $v \notin \text{Vect}(v_1, \ldots, v_n)$.

Bases et dimension

Définition 1.24 - Base

Soit $E$ un espace vectoriel. Une famille $\mathcal{B} = \{e_1, \ldots, e_n\}$ de vecteurs de $E$ est une base de $E$ si elle est à la fois libre et génératrice.

Remarque

Si $\mathcal{B} = \{e_1, \ldots, e_n\}$ est une base de $E$, alors tout vecteur $v \in E$ s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de $\mathcal{B}$ : \[ v = \lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_n e_n \]

Les scalaires $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ sont appelés les coordonnées (ou composantes) de $v$ dans la base $\mathcal{B}$.

Exemple 1.7.1 - Base canonique de $\mathbb{R}^n$

La famille $\mathcal{B} = \{e_1, \ldots, e_n\}$ où : \[ e_1 = (1,0,\ldots,0), \quad e_2 = (0,1,0,\ldots,0), \quad \ldots, \quad e_n = (0,\ldots,0,1) \] est une base de $\mathbb{R}^n$, appelée base canonique.

Tout vecteur $(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ s’écrit : \[ (x_1, \ldots, x_n) = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n \]

Exemple 1.7.2 - Base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$

La famille $\{1, X, X^2, \ldots, X^n\}$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$.

Exercice

Montrer que la famille $\{(1,1), (1,-1)\}$ est une base de $\mathbb{R}^2$.

Proposition 1.25

Si $E$ admet une base finie, alors toutes les bases de $E$ ont le même nombre d’éléments.

Démonstration

L’idée repose sur le lemme d’échange de Steinitz. Soient $\mathcal{B} = \{e_1, \ldots, e_s\}$ et $\mathcal{B}' = \{e_1', \ldots, e_t'\}$ deux bases de $E$. Montrons que $s = t$.

Raisonnons par l’absurde et supposons $s < t$ (le cas $s > t$ se traite en inversant les rôles).

Puisque $\mathcal{B}$ est génératrice, $e_1'$ s’écrit comme combinaison linéaire des $e_i$, et comme $e_1' \neq 0_E$, au moins un coefficient est non nul. En réordonnant, on peut remplacer $e_1$ par $e_1'$ et obtenir une nouvelle base $\mathcal{B}_1 = \{e_1', e_2, \ldots, e_s\}$.

On répète ce procédé : à chaque étape $k$, on remplace un vecteur $e_i$ par $e_k'$ pour obtenir une base $\mathcal{B}_k$. Après $s$ étapes, on a remplacé tous les $e_i$ et on obtient une base $\mathcal{B}_s = \{e_1', \ldots, e_s'\}$ qui engendre $E$.

Mais alors les vecteurs $e_{s+1}', \ldots, e_t'$ sont des combinaisons linéaires de $e_1', \ldots, e_s'$, ce qui contredit la liberté de $\mathcal{B}'$.

Donc $s = t$.

Définition 1.26 - Dimension

Si $E$ admet une base finie de $n$ éléments, on dit que $E$ est de dimension finie et on note $\dim(E) = n$.

Le nombre $n$ est appelé la dimension de $E$.

Si $E$ n’admet pas de base finie, on dit que $E$ est de dimension infinie.

Exemple 1.7.3

$\dim(\mathbb{R}^n) = n$
$\dim(\mathbb{R}_n[X]) = n+1$ (base : $\{1, X, \ldots, X^n\}$)
$\dim(\mathbb{R}[X]) = +\infty$ (dimension infinie)

Remarque - Interprétation géométrique en dimension finie

Par analogie avec $\mathbb{R}^3$, on utilise souvent le vocabulaire suivant :

les sous-espaces vectoriels de dimension $1$ sont appelés droites vectorielles ;
ceux de dimension $2$ sont appelés plans vectoriels ;
dans un espace de dimension $n$, les sous-espaces de dimension $n-1$ sont appelés hyperplans.

L’idée est qu’augmenter la dimension revient à ajouter une “direction” indépendante.

Composantes d’un vecteur relativement à une base

En dimension 1 : $E = \text{Vect}(\vec{e}_1)$, donc $\mathcal{B}=(\vec e_1)$ est une base. \[\vec a = a_1\vec e_1 = \begin{pmatrix} a_1 \end{pmatrix}\]

Dans le plan : $E = \text{Vect}(\vec{e}_1, \vec{e}_2)$, donc $\mathcal{B}=(\vec e_1, \vec e_2)$ est une base. \[\vec a = a_1\vec e_1 + a_2\vec e_2 = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\]

Dans l’espace : $E = \text{Vect}(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$, donc $\mathcal{B}=(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ est une base. \[\vec a = a_1\vec e_1 + a_2\vec e_2 + a_3\vec e_3 = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\]

Théorème 1.27 - Théorème de la base incomplète

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et soit $F = \{v_1, \ldots, v_p\}$ une famille libre de $E$ avec $p < n$. Alors on peut compléter $F$ en une base de $E$ en ajoutant $n-p$ vecteurs.

Démonstration

On procède par récurrence sur le nombre de vecteurs à ajouter.

Puisque $F$ est libre mais pas génératrice (car $p < n$), il existe un vecteur $w_1 \in E$ tel que $w_1 \notin \text{Vect}(F)$. Montrons que $F_1 = \{v_1, \ldots, v_p, w_1\}$ est encore libre.

Considérons une combinaison linéaire nulle : \[ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p + \mu_1 w_1 = 0_E \]

Si $\mu_1 \neq 0$, on aurait $w_1 = -\frac{\lambda_1}{\mu_1} v_1 - \cdots - \frac{\lambda_p}{\mu_1} v_p \in \text{Vect}(F)$, ce qui contredit le choix de $w_1$. Donc $\mu_1 = 0$, et alors $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0_E$. Comme $F$ est libre, tous les $\lambda_i$ sont nuls. La famille $F_1$ est donc libre.

Si $p + 1 = n$, alors $F_1$ est une famille libre de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$, c’est donc une base. Sinon, on recommence avec $F_1$ et on ajoute un vecteur $w_2 \notin \text{Vect}(F_1)$, et ainsi de suite.

Après $n - p$ étapes, on obtient une famille libre de $n$ vecteurs, qui est une base de $E$.

Théorème 1.28 - Théorème de la base extraite

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et soit $G = \{w_1, \ldots, w_m\}$ une famille génératrice de $E$. Alors on peut extraire de $G$ une base de $E$.

Démonstration

On construit la base par sélection successive. On parcourt les vecteurs $w_1, w_2, \ldots, w_m$ dans l’ordre et on garde ceux qui ne sont pas combinaison linéaire des précédents.

Plus précisément, on pose $B_0 = \varnothing$ et pour chaque $k$ de $1$ à $m$ :

si $w_k \notin \text{Vect}(B_{k-1})$, on pose $B_k = B_{k-1} \cup \{w_k\}$
si $w_k \in \text{Vect}(B_{k-1})$, on pose $B_k = B_{k-1}$ (on ne garde pas $w_k$)

La famille $B_m$ obtenue à la fin est libre par construction (à chaque ajout, le nouveau vecteur n’est pas dans l’espace engendré par les précédents). Elle est aussi génératrice de $E$ : en effet, chaque $w_k$ non retenu est combinaison linéaire des vecteurs retenus avant lui, donc $\text{Vect}(B_m) = \text{Vect}(G) = E$.

Ainsi $B_m$ est une base de $E$ extraite de $G$.

Proposition 1.29

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$.

Toute famille libre de $n$ vecteurs est une base de $E$
Toute famille génératrice de $n$ vecteurs est une base de $E$
Toute famille libre de $E$ a au plus $n$ éléments
Toute famille génératrice de $E$ a au moins $n$ éléments

Exercice

Déterminer une base de $\text{Vect}((1,2,3), (2,4,6), (1,1,1))$ dans $\mathbb{R}^3$.

Proposition 1.30

Soit $F$ un sous-espace vectoriel d’un espace $E$ de dimension finie. Alors :

$F$ est de dimension finie et $\dim(F) \leq \dim(E)$
$\dim(F) = \dim(E)$ si et seulement si $F = E$

Méthodes pratiques

Méthode pour extraire une base d’une famille génératrice

Exercice

Soit $F = \{v_1, v_2, v_3, v_4\}$ avec : \[ v_1 = (1,0,1), \quad v_2 = (0,1,1), \quad v_3 = (1,1,2), \quad v_4 = (2,1,3) \] dans $\mathbb{R}^3$. Extraire une base de $\text{Vect}(F)$.

Méthode :

On teste si $v_1$ est non nul : oui, donc on garde $v_1$
On teste si $v_2 \in \text{Vect}(v_1)$ : non (car $v_2 \neq \lambda v_1$), donc on garde $v_2$
On teste si $v_3 \in \text{Vect}(v_1, v_2)$ : on cherche si $v_3 = \lambda v_1 + \mu v_2$ \[ (1,1,2) = \lambda(1,0,1) + \mu(0,1,1) = (\lambda, \mu, \lambda + \mu) \] Donc $\lambda = 1$, $\mu = 1$, $\lambda + \mu = 2$ : oui ! Donc $v_3 = v_1 + v_2$ et on ne garde pas $v_3$
On teste si $v_4 \in \text{Vect}(v_1, v_2)$ : on cherche si $v_4 = \lambda v_1 + \mu v_2$ \[ (2,1,3) = \lambda(1,0,1) + \mu(0,1,1) = (\lambda, \mu, \lambda + \mu) \] Donc $\lambda = 2$, $\mu = 1$, $\lambda + \mu = 3$ : oui ! Donc on ne garde pas $v_4$

Conclusion : $\{v_1, v_2\}$ est une base de $\text{Vect}(F)$, donc $\dim(\text{Vect}(F)) = 2$.

Méthode pour compléter une famille libre en une base

Exercice

Compléter la famille libre $\{(1,0,0,0), (0,1,1,0)\}$ en une base de $\mathbb{R}^4$.

Méthode :

On part de $\{v_1, v_2\}$ avec $v_1 = (1,0,0,0)$ et $v_2 = (0,1,1,0)$
On teste les vecteurs de la base canonique :
- $e_1 = (1,0,0,0) = v_1$ : déjà dans la famille
- $e_2 = (0,1,0,0) \in \text{Vect}(v_1, v_2)$ ? Non, donc on ajoute $e_2$
- $e_3 = (0,0,1,0) \in \text{Vect}(v_1, v_2, e_2)$ ? Non, donc on ajoute $e_3$
On a maintenant 4 vecteurs dans $\mathbb{R}^4$, donc c’est une base

Conclusion : $\{(1,0,0,0), (0,1,1,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0)\}$ est une base de $\mathbb{R}^4$.

Bases et équations de sous-espaces

Il existe deux façons de représenter un sous-espace vectoriel :

Par une famille génératrice (représentation paramétrique)
Par un système d’équations (représentation cartésienne)

Passage d’une base à des équations

Exercice

Soit $F = \text{Vect}((1,2,1), (0,1,1))$ dans $\mathbb{R}^3$. Donner des équations de $F$.

Solution :

Un vecteur $(x,y,z) \in F$ s’écrit $(x,y,z) = \lambda(1,2,1) + \mu(0,1,1) = (\lambda, 2\lambda + \mu, \lambda + \mu)$.

Donc : $x = \lambda$, $y = 2\lambda + \mu$, $z = \lambda + \mu$.

En éliminant $\lambda$ et $\mu$ : \[ \begin{aligned} \lambda &= x \\ \mu &= y - 2\lambda = y - 2x \\ z &= \lambda + \mu = x + (y - 2x) = y - x \end{aligned} \]

Donc $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + z = y\}$ ou encore $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0\}$.

Passage d’équations à une base

Exercice

Soit $F = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y = 0 \text{ et } z - t = 0\}$. Donner une base de $F$.

Solution :

Les équations donnent : $y = -x$ et $t = z$.

Donc $(x,y,z,t) = (x, -x, z, z) = x(1,-1,0,0) + z(0,0,1,1)$.

Ainsi $F = \text{Vect}((1,-1,0,0), (0,0,1,1))$ et la famille $\{(1,-1,0,0), (0,0,1,1)\}$ est une base de $F$ (elle est libre et génératrice).

Donc $\dim(F) = 2$.

Proposition 1.31

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et soit $F$ un sous-espace défini par $p$ équations linéaires indépendantes. Alors : \[ \dim(F) = n - p \]

Intersection et somme de sous-espaces vectoriels

Intersection

Proposition 1.32

Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors $F \cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Démonstration

Vérifions les trois conditions :

Comme $0_E \in F$ et $0_E \in G$, on a $0_E \in F \cap G$
Si $x,y \in F \cap G$, alors $x,y \in F$ et $x,y \in G$. Donc $x+y \in F$ (car $F$ est un s.e.v.) et $x+y \in G$ (car $G$ est un s.e.v.). Ainsi $x+y \in F \cap G$
Si $x \in F \cap G$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $x \in F$ et $x \in G$. Donc $\lambda x \in F$ et $\lambda x \in G$, d’où $\lambda x \in F \cap G$

Remarque

Attention : En général, $F \cup G$ n’est pas un sous-espace vectoriel de $E$.

Par exemple, dans $\mathbb{R}^2$, prenons $F = \{(x,0) \mid x \in \mathbb{R}\}$ et $G = \{(0,y) \mid y \in \mathbb{R}\}$. Les vecteurs $(1,0)$ et $(0,1)$ appartiennent à $F \cup G$, mais leur somme $(1,1)$ n’appartient ni à $F$ ni à $G$, donc $(1,1) \notin F \cup G$.

Exercice

Dans $\mathbb{R}^3$, soit $F = \{(x,y,z) \mid x + y + z = 0\}$ et $G = \{(x,y,z) \mid x - y = 0\}$. Déterminer $F \cap G$.

Solution :

$(x,y,z) \in F \cap G$ si et seulement si $x + y + z = 0$ et $x - y = 0$.

De $x - y = 0$, on tire $y = x$.

En reportant dans la première équation : $x + x + z = 0$, donc $z = -2x$.

Ainsi $F \cap G = \{(x, x, -2x) \mid x \in \mathbb{R}\} = \text{Vect}((1, 1, -2))$.

Donc $\dim(F \cap G) = 1$.

Somme

Définition 1.33 - Somme de sous-espaces

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. La somme de $F$ et $G$, notée $F + G$, est l’ensemble : \[ F + G = \{u + v \mid u \in F, v \in G\} \]

Proposition 1.34

$F + G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et on a : \[ F + G = \text{Vect}(F \cup G) \]

Proposition 1.35 - Formule de Grassmann

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de dimension finie d’un espace vectoriel $E$. Alors : \[ \dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G) \]

Démonstration

Posons $r = \dim(F \cap G)$, $p = \dim(F)$ et $q = \dim(G)$.

Soit $\{u_1, \ldots, u_r\}$ une base de $F \cap G$. Par le théorème de la base incomplète, on peut la compléter en une base $\{u_1, \ldots, u_r, f_1, \ldots, f_{p-r}\}$ de $F$ et en une base $\{u_1, \ldots, u_r, g_1, \ldots, g_{q-r}\}$ de $G$.

Montrons que la famille $\mathcal{B} = \{u_1, \ldots, u_r, f_1, \ldots, f_{p-r}, g_1, \ldots, g_{q-r}\}$ est une base de $F + G$.

$\mathcal{B}$ est génératrice. Tout vecteur de $F + G$ s’écrit $x + y$ avec $x \in F$ et $y \in G$. Or $x$ est combinaison linéaire des $u_i$ et des $f_j$, et $y$ est combinaison linéaire des $u_i$ et des $g_k$. Donc $x + y$ est combinaison linéaire des vecteurs de $\mathcal{B}$.

$\mathcal{B}$ est libre. Supposons que : \[ \sum_{i=1}^r \alpha_i u_i + \sum_{j=1}^{p-r} \beta_j f_j + \sum_{k=1}^{q-r} \gamma_k g_k = 0_E \]

Posons $v = \displaystyle\sum_{k=1}^{q-r} \gamma_k g_k = -\sum_{i=1}^r \alpha_i u_i - \sum_{j=1}^{p-r} \beta_j f_j$. Le membre de droite est dans $F$, et le membre de gauche est dans $G$ (car les $u_i$ sont aussi dans $G$, donc $v = -\sum \alpha_i u_i - \sum \beta_j f_j + 0 \in F$). En fait, reprenons : $v = \sum \gamma_k g_k \in G$ et $v = -\sum \alpha_i u_i - \sum \beta_j f_j \in F$. Donc $v \in F \cap G$.

Comme $\{u_1, \ldots, u_r\}$ est une base de $F \cap G$, on écrit $v = \sum_{i=1}^r \delta_i u_i$, d’où : \[ \sum_{k=1}^{q-r} \gamma_k g_k - \sum_{i=1}^r \delta_i u_i = 0_E \]

Par liberté de la base $\{u_1, \ldots, u_r, g_1, \ldots, g_{q-r}\}$ de $G$, on obtient $\gamma_k = 0$ pour tout $k$ et $\delta_i = 0$ pour tout $i$. En reportant dans la relation initiale, il reste $\sum \alpha_i u_i + \sum \beta_j f_j = 0_E$, et par liberté de la base de $F$, tous les $\alpha_i$ et $\beta_j$ sont nuls.

Au final, $\mathcal{B}$ est une base de $F + G$ de cardinal $r + (p - r) + (q - r) = p + q - r$.

Exemple 1.9.1

Reprenons l’exercice précédent avec $F = \{(x,y,z) \mid x + y + z = 0\}$ et $G = \{(x,y,z) \mid x - y = 0\}$ dans $\mathbb{R}^3$.

On a trouvé $\dim(F \cap G) = 1$.

De plus :

$\dim(F) = 3 - 1 = 2$ (une équation)
$\dim(G) = 3 - 1 = 2$ (une équation)

Par la formule de Grassmann : \[ \dim(F + G) = 2 + 2 - 1 = 3 \]

Comme $F + G \subset \mathbb{R}^3$ et $\dim(F + G) = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$, on a $F + G = \mathbb{R}^3$.

Exercice

Dans $\mathbb{R}^4$, soit $F = \text{Vect}((1,0,1,0), (0,1,0,1))$ et $G = \text{Vect}((1,1,0,0), (0,0,1,1))$. Calculer $\dim(F \cap G)$ et $\dim(F + G)$.

Somme directe

Définition 1.36 - Somme directe

On dit que la somme $F + G$ est directe, et on note $F \oplus G$, si $F \cap G = \{0_E\}$.

Proposition 1.37

Les assertions suivantes sont équivalentes :

$F + G$ est directe
$F \cap G = \{0_E\}$
Tout vecteur de $F + G$ s’écrit de manière unique comme $u + v$ avec $u \in F$ et $v \in G$
Si $\{e_1, \ldots, e_p\}$ est une base de $F$ et $\{f_1, \ldots, f_q\}$ est une base de $G$, alors $\{e_1, \ldots, e_p, f_1, \ldots, f_q\}$ est une base de $F \oplus G$

Corollaire 1.38

Si $F + G$ est directe, alors : \[ \dim(F \oplus G) = \dim(F) + \dim(G) \]

Définition 1.39 - Sous-espaces supplémentaires

On dit que deux sous-espaces $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si : \[ E = F \oplus G \]

C’est-à-dire : $E = F + G$ et $F \cap G = \{0_E\}$.

Exemple 1.9.2

Dans $\mathbb{R}^3$, soit $F = \{(x,y,z) \mid z = 0\}$ (le plan $xy$) et $G = \{(x,y,z) \mid x = y = 0\}$ (l’axe $z$).

Alors $F$ et $G$ sont supplémentaires car :

Tout vecteur $(x,y,z)$ s’écrit $(x,y,z) = (x,y,0) + (0,0,z)$ avec $(x,y,0) \in F$ et $(0,0,z) \in G$
$F \cap G = \{(0,0,0)\}$

Donc $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$.

Remarque

Attention : Un sous-espace peut avoir plusieurs supplémentaires différents.

Par exemple, dans $\mathbb{R}^2$, si $F = \text{Vect}((1,0))$, alors $G_1 = \text{Vect}((0,1))$ et $G_2 = \text{Vect}((1,1))$ sont tous deux supplémentaires de $F$.

Exercice

Dans $\mathbb{R}_3[X]$, montrer que $F = \mathbb{R}_1[X]$ (polynômes de degré $\leq 1$) et $G = \text{Vect}(X^2, X^3)$ sont supplémentaires.

--- sidebar: algebre-lineaire title: "Chapitre 1 : Espaces vectoriels" subtitle: "Définitions, sous-espaces vectoriels, bases et dimension" --- # Espaces vectoriels ## Définitions et exemples ::: {.callout-definition} ## Définition 1.1 - Espace vectoriel réel Un *espace vectoriel réel* est un ensemble $E$ muni de deux lois : - une loi de composition interne notée $+$ : $E \times E \to E$, $(x,y) \mapsto x+y$ - une loi de composition externe notée $\cdot$ : $\mathbb{R} \times E \to E$, $(\lambda, x) \mapsto \lambda \cdot x$ telles que les huit propriétés suivantes sont vérifiées : **Pour la loi $+$ :** 1. $(E,+)$ est un groupe commutatif, c'est-à-dire : (a) $\forall x,y \in E, \quad x+y = y+x$ (commutativité) (b) $\forall x,y,z \in E, \quad (x+y)+z = x+(y+z)$ (associativité) (c) $\exists 0_E \in E, \forall x \in E, \quad x + 0_E = 0_E + x = x$ (élément neutre) (d) $\forall x \in E, \exists (-x) \in E, \quad x + (-x) = (-x) + x = 0_E$ (opposé) **Pour la loi externe $\cdot$ :** 2. $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \forall x \in E, \quad \lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda \mu) \cdot x$ 3. $\forall x \in E, \quad 1 \cdot x = x$ 4. $\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall x,y \in E, \quad \lambda \cdot (x+y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$ 5. $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \forall x \in E, \quad (\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$ Les éléments de $E$ sont appelés *vecteurs* et les éléments de $\mathbb{R}$ sont appelés *scalaires*. ::: ::: {.callout-remarque} ## Remarque Dans la suite, on notera simplement $\lambda x$ au lieu de $\lambda \cdot x$ pour la multiplication par un scalaire. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.1.1 - L'ensemble $\mathbb{R}$ L'ensemble $\mathbb{R}$ est un espace vectoriel réel pour l'addition et la multiplication usuelles. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.1.2 - L'ensemble $\mathbb{R}^n$ Pour tout entier $n \geq 1$, l'ensemble $\mathbb{R}^n$ des $n$-uplets de nombres réels est un espace vectoriel réel pour les lois : $$ \begin{aligned} (x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n) &= (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) \\ \lambda \cdot (x_1, \ldots, x_n) &= (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n) \end{aligned} $$ Le vecteur nul est $0_{\mathbb{R}^n} = (0, \ldots, 0)$ et l'opposé de $(x_1, \ldots, x_n)$ est $(-x_1, \ldots, -x_n)$. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.1.3 - Les vecteurs du plan et de l'espace L'ensemble des vecteurs du plan (respectivement de l'espace) est un espace vectoriel réel pour l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire définies géométriquement. Ces espaces sont isomorphes à $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ respectivement. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.1.4 - L'espace des fonctions Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. L'ensemble $\mathcal{F}(I, \mathbb{R})$ des fonctions de $I$ dans $\mathbb{R}$ est un espace vectoriel réel pour les lois : $$ \begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x) + g(x) \\ (\lambda f)(x) &= \lambda f(x) \end{aligned} $$ La fonction nulle est l'élément neutre et l'opposée de $f$ est la fonction $x \mapsto -f(x)$. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.1.5 - L'espace des suites réelles L'ensemble $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ des suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est un espace vectoriel réel pour les lois : $$ \begin{aligned} (u_n) + (v_n) &= (u_n + v_n) \\ \lambda \cdot (u_n) &= (\lambda u_n) \end{aligned} $$ ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.2 Soit $E$ un espace vectoriel réel. On a les propriétés suivantes : 1. L'élément neutre $0_E$ est unique. 2. Le symétrique (opposé) de chaque vecteur est unique. 3. $\forall x \in E, \quad 0 \cdot x = 0_E$ 4. $\forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad \lambda \cdot 0_E = 0_E$ 5. $\forall x \in E, \quad (-1) \cdot x = -x$ 6. $\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall x \in E, \quad \lambda x = 0_E \Rightarrow (\lambda = 0 \text{ ou } x = 0_E)$ ::: ::: {.callout-demonstration} ## Démonstration **Propriété (1) :** Supposons que $0_E$ et $0_E'$ soient deux éléments neutres. Alors : $$ 0_E = 0_E + 0_E' = 0_E' $$ car $0_E'$ est neutre (première égalité) et $0_E$ est neutre (seconde égalité). D'où l'unicité. **Propriété (2) :** Soit $x \in E$ et supposons que $y_1$ et $y_2$ soient deux opposés de $x$, c'est-à-dire $x + y_1 = 0_E$ et $x + y_2 = 0_E$. Alors : $$ y_1 = y_1 + 0_E = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = 0_E + y_2 = y_2 $$ On note cet unique opposé $-x$. **Propriété (3) :** Soit $x \in E$. On a : $$ \begin{aligned} 0 \cdot x &= (0+0) \cdot x \quad \text{(car $0 = 0+0$ dans $\mathbb{R}$)} \\ &= 0 \cdot x + 0 \cdot x \quad \text{(par distributivité)} \end{aligned} $$ En ajoutant $-(0 \cdot x)$ des deux côtés : $$ 0_E = 0 \cdot x + 0 \cdot x + (-(0 \cdot x)) = 0 \cdot x + 0_E = 0 \cdot x $$ **Propriété (4) :** Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. On a : $$ \begin{aligned} \lambda \cdot 0_E &= \lambda \cdot (0_E + 0_E) \quad \text{(car $0_E + 0_E = 0_E$)} \\ &= \lambda \cdot 0_E + \lambda \cdot 0_E \quad \text{(par distributivité)} \end{aligned} $$ En ajoutant $-(\lambda \cdot 0_E)$ des deux côtés, on obtient $0_E = \lambda \cdot 0_E$. **Propriété (5) :** Soit $x \in E$. On veut montrer que $(-1) \cdot x$ est l'opposé de $x$, c'est-à-dire que $x + (-1) \cdot x = 0_E$. On calcule : $$ x + (-1) \cdot x = 1 \cdot x + (-1) \cdot x = (1 + (-1)) \cdot x = 0 \cdot x = 0_E $$ Par unicité de l'opposé (propriété 2), on conclut que $(-1) \cdot x = -x$. **Propriété (6) :** Supposons que $\lambda x = 0_E$ avec $\lambda \neq 0$. Alors $\lambda$ est inversible dans $\mathbb{R}$ et on peut écrire : $$ x = 1 \cdot x = \left(\frac{1}{\lambda} \cdot \lambda\right) \cdot x = \frac{1}{\lambda} \cdot (\lambda \cdot x) = \frac{1}{\lambda} \cdot 0_E = 0_E $$ Donc si $\lambda \neq 0$, alors $x = 0_E$. Par contraposée : si $x \neq 0_E$, alors $\lambda = 0$. ::: ## Sous-espaces vectoriels ::: {.callout-definition} ## Définition 1.3 - Sous-espace vectoriel Soit $E$ un espace vectoriel réel. Une partie $F$ de $E$ est un *sous-espace vectoriel* de $E$ si : 1. $0_E \in F$ (F est non vide) 2. $\forall x,y \in F, \quad x+y \in F$ (F est stable par addition) 3. $\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall x \in F, \quad \lambda x \in F$ (F est stable par multiplication scalaire) ::: ::: {.callout-remarque} ## Remarque Les conditions (2) et (3) peuvent être regroupées en une seule : $F$ est stable par combinaisons linéaires, c'est-à-dire : $$ \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \forall x,y \in F, \quad \lambda x + \mu y \in F $$ ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.4 - Vérification rapide Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $F \subset E$. Alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si : 1. $F \neq \varnothing$ 2. $\forall x, y \in F, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad x + \lambda y \in F$ ::: ::: {.callout-demonstration} ## Démonstration $(\Rightarrow)$ Si $F$ est un sous-espace vectoriel, alors $F$ contient $0_E$ donc $F \neq \varnothing$. De plus, pour $x, y \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, on a $\lambda y \in F$ (stabilité par multiplication scalaire) puis $x + \lambda y \in F$ (stabilité par addition). $(\Leftarrow)$ Supposons les conditions (1) et (2) vérifiées. Puisque $F \neq \varnothing$, il existe $x \in F$. En prenant $y = x$ et $\lambda = -1$ dans (2), on obtient $x + (-1)x = 0_E \in F$. Ensuite, pour $y \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, en prenant $x = 0_E$ dans (2), on obtient $0_E + \lambda y = \lambda y \in F$ : $F$ est stable par multiplication scalaire. Enfin, pour $x, y \in F$, en prenant $\lambda = 1$ dans (2), on obtient $x + y \in F$ : $F$ est stable par addition. ::: ::: {.callout-remarque} ## Remarque Cette caractérisation est très pratique en exercice : au lieu de vérifier trois conditions, il suffit d'en vérifier deux. On l'utilisera souvent par la suite. ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.5 Tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel pour les lois induites. ::: ::: {.callout-demonstration} ## Démonstration Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Par définition d'un sous-espace vectoriel, on sait que : - $F$ est non vide ; - pour tous $x,y \in F$, on a $x+y \in F$ ; - pour tout $x \in F$ et tout $\lambda \in \mathbb{R}$, on a $\lambda x \in F$. Les lois d'addition et de multiplication par un scalaire sur $F$ sont les restrictions de celles de $E$. Or les axiomes d'espace vectoriel (associativité, commutativité, existence du neutre, existence des opposés, distributivité, etc.) sont vérifiés dans $E$. Comme ces propriétés sont purement algébriques et ne dépendent que des opérations, elles restent valables sur $F$. Ainsi, $F$ muni des lois induites est un espace vectoriel. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.2.1 Dans $\mathbb{R}^3$, l'ensemble des vecteurs de la forme $(x, 2x, 0)$ où $x \in \mathbb{R}$ est un sous-espace vectoriel. Vérifions les trois conditions : 1. $(0, 0, 0) \in F$ (prendre $x = 0$) 2. Si $(x_1, 2x_1, 0)$ et $(x_2, 2x_2, 0)$ sont dans $F$, alors $$ (x_1, 2x_1, 0) + (x_2, 2x_2, 0) = (x_1+x_2, 2(x_1+x_2), 0) \in F $$ 3. Si $(x, 2x, 0) \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $$ \lambda(x, 2x, 0) = (\lambda x, 2\lambda x, 0) \in F $$ ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.2.2 - Sous-espaces vectoriels classiques Dans tout espace vectoriel $E$, on a toujours deux sous-espaces vectoriels triviaux : - $\{0_E\}$ (le sous-espace réduit au vecteur nul) - $E$ lui-même ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Montrer que dans $\mathbb{R}^3$, l'ensemble $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel. ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice L'ensemble $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 1\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ ? ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Parmi les sous-ensembles suivants de $\mathbb{R}^2$, déterminer lesquels sont des sous-espaces vectoriels. Justifier. 1. $E_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 0\}$ 2. $E_2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0\}$ 3. $E_3 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\}$ 4. $E_4 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y = 0\}$ ::: ::: {.callout-remarque} ## Remarque Cet exercice est fondamental pour apprendre à repérer les pièges. Les conditions du type « $xy = 0$ » ou « $x \geq 0$ » ne sont pas linéaires et posent problème pour la stabilité. En revanche, toute condition de la forme $ax + by = 0$ (équation *homogène*) définit un sous-espace vectoriel. C'est un critère qu'on retrouvera très souvent. ::: ## L'espace vectoriel des polynômes $\mathbb{R}[X]$ ::: {.callout-definition} ## Définition 1.6 - Polynôme à coefficients réels On appelle *polynôme à coefficients réels* une expression formelle de la forme : $$ P(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n $$ où $n \in \mathbb{N}$ et $a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$. L'ensemble de tous les polynômes à coefficients réels est noté $\mathbb{R}[X]$. ::: ::: {.callout-definition} ## Définition 1.7 - Degré d'un polynôme Soit : $\quad P(X)=\displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_i X^i \quad$ un polynôme non nul. On appelle **degré** de $P$, noté $\deg(P)$, le plus grand entier $k$ tel que $a_k \neq 0$. Autrement dit, $\deg(P)=\max\{\, i \in \mathbb{N} \mid a_i \neq 0 \,\}$. Le coefficient $a_{\deg(P)}$ est appelé **coefficient dominant** de $P$. Par convention : $\deg(0)=-\infty$. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.3.1 - Cas classique Considérons le polynôme : $P(X)=2+3X+5X^3$. Le plus grand exposant dont le coefficient est non nul est $3$. On a donc : $\deg(P)=3$ et le coefficient dominant est $5$. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.3.2 - Cas particulier Considérons : $Q(X)=4+2X+0X^2$ Bien que le terme en $X^2$ apparaisse, son coefficient est nul. Le plus grand entier $k$ tel que $a_k \neq 0$ est donc $1$. On a ainsi : $\deg(Q)=1$. ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.8 L'ensemble $\mathbb{R}[X]$ muni de l'addition des polynômes et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel réel. L'addition est définie par : $$ (a_0 + a_1 X + \cdots) + (b_0 + b_1 X + \cdots) = (a_0+b_0) + (a_1+b_1)X + \cdots $$ La multiplication par un scalaire est définie par : $$ \lambda(a_0 + a_1 X + \cdots) = \lambda a_0 + \lambda a_1 X + \cdots $$ ::: ::: {.callout-definition} ## Définition 1.9 Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on note $\mathbb{R}_n[X]$ l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ : $$ \mathbb{R}_n[X] = \{P \in \mathbb{R}[X] \mid \deg(P) \leq n\} $$ C'est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$. ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.10 Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls. On a : 1. $\deg(P+Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)$ 2. $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ ::: ::: {.callout-demonstration} ## Démonstration La première propriété vient du fait que si $P$ et $Q$ ont des degrés différents, le polynôme de plus haut degré impose son degré à la somme. S'ils ont le même degré, une simplification peut avoir lieu. Pour la deuxième propriété, si $P$ a pour coefficient dominant $a$ et $Q$ a pour coefficient dominant $b$, alors $PQ$ a pour coefficient dominant $ab \neq 0$ et son degré est la somme des degrés. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.3.3 Si $P(X) = 2X^3 + X - 1$ et $Q(X) = X^2 + 3$, alors : - $\deg(P) = 3$ et $\deg(Q) = 2$ - $\deg(P+Q) = \deg(2X^3 + X^2 + X + 2) = 3 = \max(3,2)$ - $\deg(PQ) = \deg(2X^5 + \cdots) = 5 = 3+2$ ::: ### Dérivation des polynômes ::: {.callout-definition} ## Définition 1.11 - Polynôme dérivé Soit $P(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$ un polynôme. On définit le *polynôme dérivé* de $P$, noté $P'(X)$, par : $$ P'(X) = a_1 + 2a_2 X + 3a_3 X^2 + \cdots + na_n X^{n-1} $$ ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.12 La dérivation est une opération linéaire sur $\mathbb{R}[X]$, c'est-à-dire : 1. $(P+Q)' = P' + Q'$ 2. $(\lambda P)' = \lambda P'$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ De plus, on a la règle de Leibniz : $$ (PQ)' = P'Q + PQ' $$ ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Calculer la dérivée de $P(X) = X^4 - 3X^2 + 2X - 5$. ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Montrer que si $\deg(P) = n \geq 1$, alors $\deg(P') = n-1$. ::: ### Formule de Taylor pour les polynômes ::: {.callout-theorem} ## Théorème 1.13 - Formule de Taylor Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ un polynôme de degré $n$ et soit $a \in \mathbb{R}$. Alors il existe des coefficients $c_0, c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{R}$ tels que : $$ P(X) = c_0 + c_1(X-a) + c_2(X-a)^2 + \cdots + c_n(X-a)^n $$ Plus précisément, on a : $$ P(X) = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k $$ où $P^{(k)}$ désigne la dérivée $k$-ième de $P$ et $k! = 1 \times 2 \times \cdots \times k$. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.3.4 Soit $P(X) = X^3 - 2X + 1$. Calculons sa formule de Taylor en $a = 1$. On a : $$ \begin{aligned} P(1) &= 1 - 2 + 1 = 0 \\ P'(X) &= 3X^2 - 2, \quad P'(1) = 1 \\ P''(X) &= 6X, \quad P''(1) = 6 \\ P'''(X) &= 6, \quad P'''(1) = 6 \end{aligned} $$ Donc : $$ P(X) = 0 + 1 \cdot (X-1) + \frac{6}{2}(X-1)^2 + \frac{6}{6}(X-1)^3 = (X-1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3 $$ ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Écrire la formule de Taylor de $P(X) = X^2 + 3X - 4$ en $a = 2$. ::: ### Formule de Leibniz ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.14 Soient $P$ et $Q$ deux polynômes. La dérivée $n$-ième du produit $PQ$ est donnée par : $$ (PQ)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} P^{(k)} Q^{(n-k)} $$ où $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial. ::: ::: {.callout-remarque} ## Remarque Cette formule généralise la règle de Leibniz $(PQ)' = P'Q + PQ'$ (cas $n=1$). ::: ## Combinaisons linéaires ::: {.callout-definition} ## Définition 1.15 - Combinaison linéaire Soit $E$ un espace vectoriel et soient $v_1, v_2, \ldots, v_n$ des vecteurs de $E$. On appelle *combinaison linéaire* de $v_1, \ldots, v_n$ tout vecteur $x \in E$ tel qu'il existe des scalaires $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}$ vérifiant : $$ x = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_n v_n. $$ ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.4.1 Dans $\mathbb{R}^3$, le vecteur $(5, -1, 3)$ est une combinaison linéaire de $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ et $(0,0,1)$ car : $$ (5, -1, 3) = 5(1,0,0) + (-1)(0,1,0) + 3(0,0,1) $$ ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.4.2 Dans $\mathbb{R}_2[X]$, le polynôme $3X^2 - 2X + 5$ est une combinaison linéaire de $1$, $X$ et $X^2$ : $$ 3X^2 - 2X + 5 = 5 \cdot 1 + (-2) \cdot X + 3 \cdot X^2 $$ ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Le vecteur $(1,2,3)$ est-il une combinaison linéaire de $(1,1,0)$ et $(0,1,1)$ dans $\mathbb{R}^3$ ? ::: ::: {.callout-definition} ## Définition 1.16 - Espace vectoriel engendré Soit $E$ un espace vectoriel et $F = \{v_1, \ldots, v_n\}$ une famille de vecteurs de $E$. L'*espace vectoriel engendré* par $F$, noté $\text{Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ ou $\text{Vect}(F)$, est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de $v_1, \ldots, v_n$ : $$ \text{Vect}(v_1, \ldots, v_n) = \{\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n \mid \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}\} $$ ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.17 Soit $F = \{v_1, \ldots, v_n\}$ une famille de vecteurs de $E$. Alors $\text{Vect}(F)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. De plus, $\text{Vect}(F)$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant tous les vecteurs $v_1, \ldots, v_n$. ::: ::: {.callout-demonstration} ## Démonstration Vérifions que $\text{Vect}(F)$ est un sous-espace vectoriel : 1. $0_E = 0v_1 + \cdots + 0v_n \in \text{Vect}(F)$ 2. Si $u = \sum \lambda_i v_i$ et $w = \sum \mu_i v_i$, alors $u + w = \sum (\lambda_i + \mu_i) v_i \in \text{Vect}(F)$ 3. Si $u = \sum \lambda_i v_i$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, alors $\alpha u = \sum (\alpha \lambda_i) v_i \in \text{Vect}(F)$ Pour montrer que c'est le plus petit, remarquons que tout sous-espace vectoriel contenant $v_1, \ldots, v_n$ doit contenir toutes leurs combinaisons linéaires par stabilité. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.4.3 Dans $\mathbb{R}^3$, calculons $\text{Vect}((1,0,0), (1,1,0))$. Un vecteur de $\text{Vect}((1,0,0), (1,1,0))$ est de la forme : $$ \lambda(1,0,0) + \mu(1,1,0) = (\lambda + \mu, \mu, 0) $$ Donc $\text{Vect}((1,0,0), (1,1,0)) = \{(x,y,0) \mid x,y \in \mathbb{R}\}$ : c'est le plan $xy$. ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Dans $\mathbb{R}^3$, déterminer $\text{Vect}((1,1,1))$. ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Dans $\mathbb{R}_2[X]$, déterminer $\text{Vect}(1+X, X+X^2)$. ::: ## Familles génératrices ::: {.callout-definition} ## Définition 1.18 - Famille génératrice Soit $E$ un espace vectoriel et $F = \{v_1, \ldots, v_n\}$ une famille de vecteurs de $E$. On dit que $F$ est une *famille génératrice* de $E$ si : $$ \text{Vect}(v_1, \ldots, v_n) = E $$ Autrement dit, tout vecteur de $E$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire de $v_1, \ldots, v_n$. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.5.1 Dans $\mathbb{R}^3$, la famille $\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ est génératrice car tout vecteur $(x,y,z)$ s'écrit : $$ (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) $$ ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.5.2 Dans $\mathbb{R}_n[X]$, la famille $\{1, X, X^2, \ldots, X^n\}$ est génératrice car tout polynôme de degré $\leq n$ s'écrit : $$ P(X) = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot X + \cdots + a_n \cdot X^n $$ ::: ::: {.callout-remarque} ## Remarque **Attention** : Une famille génératrice n'est pas unique. Par exemple, dans $\mathbb{R}^2$, les familles $\{(1,0), (0,1)\}$ et $\{(1,0), (0,1), (1,1)\}$ sont toutes les deux génératrices. ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Montrer que la famille $\{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\}$ est génératrice de $\mathbb{R}^3$. ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.19 Si $F = \{v_1, \ldots, v_n\}$ est une famille génératrice de $E$ et si on ajoute des vecteurs à $F$, alors la famille obtenue est encore génératrice. ::: ## Familles libres, familles liées ::: {.callout-definition} ## Définition 1.20 - Famille libre Soit $E$ un espace vectoriel et $F = \{v_1, \ldots, v_n\}$ une famille de vecteurs de $E$. On dit que $F$ est *libre* (ou *linéairement indépendante*) si : $$ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0_E \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0 $$ Dans le cas contraire, on dit que $F$ est *liée* (ou *linéairement dépendante*). ::: ::: {.callout-remarque} ## Remarque Une famille est liée s'il existe des scalaires $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ non tous nuls tels que : $$ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0_E $$ ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.6.1 Dans $\mathbb{R}^3$, la famille $\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ est libre. En effet, si $\lambda(1,0,0) + \mu(0,1,0) + \nu(0,0,1) = (0,0,0)$, alors $(\lambda, \mu, \nu) = (0,0,0)$, d'où $\lambda = \mu = \nu = 0$. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.6.2 Dans $\mathbb{R}^3$, la famille $\{(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)\}$ est liée. En effet, on a : $1 \cdot (1,0,0) + 1 \cdot (0,1,0) + (-1) \cdot (1,1,0) = (0,0,0)$ avec des coefficients non tous nuls. ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.21 Une famille contenant le vecteur nul est liée. ::: ::: {.callout-demonstration} ## Démonstration Si $v_1 = 0_E$, alors $1 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 + \cdots + 0 \cdot v_n = 0_E$ avec le premier coefficient non nul. ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.22 Une famille de vecteurs est liée si et seulement si l'un des vecteurs peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres. ::: ::: {.callout-demonstration} ## Démonstration $(\Rightarrow)$ Si la famille est liée, il existe $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ non tous nuls tels que $\sum \lambda_i v_i = 0_E$. Supposons $\lambda_1 \neq 0$. Alors : $$ v_1 = -\frac{\lambda_2}{\lambda_1} v_2 - \cdots - \frac{\lambda_n}{\lambda_1} v_n $$ $(\Leftarrow)$ Réciproquement, si par exemple $v_1 = \displaystyle \sum_{i=2}^n \mu_i v_i$, alors : $$ 1 \cdot v_1 + (-\mu_2) v_2 + \cdots + (-\mu_n) v_n = 0_E $$ avec le premier coefficient non nul. ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Montrer que dans $\mathbb{R}^2$, la famille $\{(1,2), (2,4)\}$ est liée. ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice La famille $\{1, X, X^2\}$ est-elle libre dans $\mathbb{R}_2[X]$ ? ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.23 Soit $F = \{v_1, \ldots, v_n\}$ une famille libre et soit $v \in E$. Alors la famille $\{v_1, \ldots, v_n, v\}$ est libre si et seulement si $v \notin \text{Vect}(v_1, \ldots, v_n)$. ::: ## Bases et dimension ::: {.callout-definition} ## Définition 1.24 - Base Soit $E$ un espace vectoriel. Une famille $\mathcal{B} = \{e_1, \ldots, e_n\}$ de vecteurs de $E$ est une *base* de $E$ si elle est à la fois libre et génératrice. ::: ::: {.callout-remarque} ## Remarque Si $\mathcal{B} = \{e_1, \ldots, e_n\}$ est une base de $E$, alors tout vecteur $v \in E$ s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de $\mathcal{B}$ : $$ v = \lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_n e_n $$ Les scalaires $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ sont appelés les *coordonnées* (ou *composantes*) de $v$ dans la base $\mathcal{B}$. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.7.1 - Base canonique de $\mathbb{R}^n$ La famille $\mathcal{B} = \{e_1, \ldots, e_n\}$ où : $$ e_1 = (1,0,\ldots,0), \quad e_2 = (0,1,0,\ldots,0), \quad \ldots, \quad e_n = (0,\ldots,0,1) $$ est une base de $\mathbb{R}^n$, appelée *base canonique*. Tout vecteur $(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ s'écrit : $$ (x_1, \ldots, x_n) = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n $$ ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.7.2 - Base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$ La famille $\{1, X, X^2, \ldots, X^n\}$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$. ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Montrer que la famille $\{(1,1), (1,-1)\}$ est une base de $\mathbb{R}^2$. ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.25 Si $E$ admet une base finie, alors toutes les bases de $E$ ont le même nombre d'éléments. ::: ::: {.callout-demonstration} ## Démonstration L'idée repose sur le lemme d'échange de Steinitz. Soient $\mathcal{B} = \{e_1, \ldots, e_s\}$ et $\mathcal{B}' = \{e_1', \ldots, e_t'\}$ deux bases de $E$. Montrons que $s = t$. Raisonnons par l'absurde et supposons $s < t$ (le cas $s > t$ se traite en inversant les rôles). Puisque $\mathcal{B}$ est génératrice, $e_1'$ s'écrit comme combinaison linéaire des $e_i$, et comme $e_1' \neq 0_E$, au moins un coefficient est non nul. En réordonnant, on peut remplacer $e_1$ par $e_1'$ et obtenir une nouvelle base $\mathcal{B}_1 = \{e_1', e_2, \ldots, e_s\}$. On répète ce procédé : à chaque étape $k$, on remplace un vecteur $e_i$ par $e_k'$ pour obtenir une base $\mathcal{B}_k$. Après $s$ étapes, on a remplacé tous les $e_i$ et on obtient une base $\mathcal{B}_s = \{e_1', \ldots, e_s'\}$ qui engendre $E$. Mais alors les vecteurs $e_{s+1}', \ldots, e_t'$ sont des combinaisons linéaires de $e_1', \ldots, e_s'$, ce qui contredit la liberté de $\mathcal{B}'$. Donc $s = t$. ::: ::: {.callout-definition} ## Définition 1.26 - Dimension Si $E$ admet une base finie de $n$ éléments, on dit que $E$ est de *dimension finie* et on note $\dim(E) = n$. Le nombre $n$ est appelé la *dimension* de $E$. Si $E$ n'admet pas de base finie, on dit que $E$ est de dimension infinie. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.7.3 - $\dim(\mathbb{R}^n) = n$ - $\dim(\mathbb{R}_n[X]) = n+1$ (base : $\{1, X, \ldots, X^n\}$) - $\dim(\mathbb{R}[X]) = +\infty$ (dimension infinie) ::: ::: {.callout-remarque} ## Remarque - Interprétation géométrique en dimension finie Par analogie avec $\mathbb{R}^3$, on utilise souvent le vocabulaire suivant : - les sous-espaces vectoriels de dimension $1$ sont appelés *droites vectorielles* ; - ceux de dimension $2$ sont appelés *plans vectoriels* ; - dans un espace de dimension $n$, les sous-espaces de dimension $n-1$ sont appelés *hyperplans*. L'idée est qu'augmenter la dimension revient à ajouter une "direction" indépendante. ::: ### Composantes d'un vecteur relativement à une base  **En dimension 1** : $E = \text{Vect}(\vec{e}_1)$, donc $\mathcal{B}=(\vec e_1)$ est une base. $$\vec a = a_1\vec e_1 = \begin{pmatrix} a_1 \end{pmatrix}$$ **Dans le plan** : $E = \text{Vect}(\vec{e}_1, \vec{e}_2)$, donc $\mathcal{B}=(\vec e_1, \vec e_2)$ est une base. $$\vec a = a_1\vec e_1 + a_2\vec e_2 = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$$ **Dans l'espace** : $E = \text{Vect}(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$, donc $\mathcal{B}=(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ est une base. $$\vec a = a_1\vec e_1 + a_2\vec e_2 + a_3\vec e_3 = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$$ ::: {.callout-theorem} ## Théorème 1.27 - Théorème de la base incomplète Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et soit $F = \{v_1, \ldots, v_p\}$ une famille libre de $E$ avec $p < n$. Alors on peut compléter $F$ en une base de $E$ en ajoutant $n-p$ vecteurs. ::: ::: {.callout-demonstration} ## Démonstration On procède par récurrence sur le nombre de vecteurs à ajouter. Puisque $F$ est libre mais pas génératrice (car $p < n$), il existe un vecteur $w_1 \in E$ tel que $w_1 \notin \text{Vect}(F)$. Montrons que $F_1 = \{v_1, \ldots, v_p, w_1\}$ est encore libre. Considérons une combinaison linéaire nulle : $$ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p + \mu_1 w_1 = 0_E $$ Si $\mu_1 \neq 0$, on aurait $w_1 = -\frac{\lambda_1}{\mu_1} v_1 - \cdots - \frac{\lambda_p}{\mu_1} v_p \in \text{Vect}(F)$, ce qui contredit le choix de $w_1$. Donc $\mu_1 = 0$, et alors $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0_E$. Comme $F$ est libre, tous les $\lambda_i$ sont nuls. La famille $F_1$ est donc libre. Si $p + 1 = n$, alors $F_1$ est une famille libre de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$, c'est donc une base. Sinon, on recommence avec $F_1$ et on ajoute un vecteur $w_2 \notin \text{Vect}(F_1)$, et ainsi de suite. Après $n - p$ étapes, on obtient une famille libre de $n$ vecteurs, qui est une base de $E$. ::: ::: {.callout-theorem} ## Théorème 1.28 - Théorème de la base extraite Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et soit $G = \{w_1, \ldots, w_m\}$ une famille génératrice de $E$. Alors on peut extraire de $G$ une base de $E$. ::: ::: {.callout-demonstration} ## Démonstration On construit la base par sélection successive. On parcourt les vecteurs $w_1, w_2, \ldots, w_m$ dans l'ordre et on garde ceux qui ne sont pas combinaison linéaire des précédents. Plus précisément, on pose $B_0 = \varnothing$ et pour chaque $k$ de $1$ à $m$ : 1. si $w_k \notin \text{Vect}(B_{k-1})$, on pose $B_k = B_{k-1} \cup \{w_k\}$ 2. si $w_k \in \text{Vect}(B_{k-1})$, on pose $B_k = B_{k-1}$ (on ne garde pas $w_k$) La famille $B_m$ obtenue à la fin est libre par construction (à chaque ajout, le nouveau vecteur n'est pas dans l'espace engendré par les précédents). Elle est aussi génératrice de $E$ : en effet, chaque $w_k$ non retenu est combinaison linéaire des vecteurs retenus avant lui, donc $\text{Vect}(B_m) = \text{Vect}(G) = E$. Ainsi $B_m$ est une base de $E$ extraite de $G$. ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.29 Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. 1. Toute famille libre de $n$ vecteurs est une base de $E$ 2. Toute famille génératrice de $n$ vecteurs est une base de $E$ 3. Toute famille libre de $E$ a au plus $n$ éléments 4. Toute famille génératrice de $E$ a au moins $n$ éléments ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Déterminer une base de $\text{Vect}((1,2,3), (2,4,6), (1,1,1))$ dans $\mathbb{R}^3$. ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.30 Soit $F$ un sous-espace vectoriel d'un espace $E$ de dimension finie. Alors : 1. $F$ est de dimension finie et $\dim(F) \leq \dim(E)$ 2. $\dim(F) = \dim(E)$ si et seulement si $F = E$ ::: ## Méthodes pratiques ### Méthode pour extraire une base d'une famille génératrice ::: {.callout-exercice} ## Exercice Soit $F = \{v_1, v_2, v_3, v_4\}$ avec : $$ v_1 = (1,0,1), \quad v_2 = (0,1,1), \quad v_3 = (1,1,2), \quad v_4 = (2,1,3) $$ dans $\mathbb{R}^3$. Extraire une base de $\text{Vect}(F)$. ::: **Méthode :** 1. On teste si $v_1$ est non nul : oui, donc on garde $v_1$ 2. On teste si $v_2 \in \text{Vect}(v_1)$ : non (car $v_2 \neq \lambda v_1$), donc on garde $v_2$ 3. On teste si $v_3 \in \text{Vect}(v_1, v_2)$ : on cherche si $v_3 = \lambda v_1 + \mu v_2$ $$ (1,1,2) = \lambda(1,0,1) + \mu(0,1,1) = (\lambda, \mu, \lambda + \mu) $$ Donc $\lambda = 1$, $\mu = 1$, $\lambda + \mu = 2$ : oui ! Donc $v_3 = v_1 + v_2$ et on ne garde pas $v_3$ 4. On teste si $v_4 \in \text{Vect}(v_1, v_2)$ : on cherche si $v_4 = \lambda v_1 + \mu v_2$ $$ (2,1,3) = \lambda(1,0,1) + \mu(0,1,1) = (\lambda, \mu, \lambda + \mu) $$ Donc $\lambda = 2$, $\mu = 1$, $\lambda + \mu = 3$ : oui ! Donc on ne garde pas $v_4$ Conclusion : $\{v_1, v_2\}$ est une base de $\text{Vect}(F)$, donc $\dim(\text{Vect}(F)) = 2$. ### Méthode pour compléter une famille libre en une base ::: {.callout-exercice} ## Exercice Compléter la famille libre $\{(1,0,0,0), (0,1,1,0)\}$ en une base de $\mathbb{R}^4$. ::: **Méthode :** 1. On part de $\{v_1, v_2\}$ avec $v_1 = (1,0,0,0)$ et $v_2 = (0,1,1,0)$ 2. On teste les vecteurs de la base canonique : - $e_1 = (1,0,0,0) = v_1$ : déjà dans la famille - $e_2 = (0,1,0,0) \in \text{Vect}(v_1, v_2)$ ? Non, donc on ajoute $e_2$ - $e_3 = (0,0,1,0) \in \text{Vect}(v_1, v_2, e_2)$ ? Non, donc on ajoute $e_3$ 3. On a maintenant 4 vecteurs dans $\mathbb{R}^4$, donc c'est une base Conclusion : $\{(1,0,0,0), (0,1,1,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0)\}$ est une base de $\mathbb{R}^4$. ## Bases et équations de sous-espaces Il existe deux façons de représenter un sous-espace vectoriel : 1. Par une *famille génératrice* (représentation paramétrique) 2. Par un *système d'équations* (représentation cartésienne) ### Passage d'une base à des équations ::: {.callout-exercice} ## Exercice Soit $F = \text{Vect}((1,2,1), (0,1,1))$ dans $\mathbb{R}^3$. Donner des équations de $F$. ::: **Solution :** Un vecteur $(x,y,z) \in F$ s'écrit $(x,y,z) = \lambda(1,2,1) + \mu(0,1,1) = (\lambda, 2\lambda + \mu, \lambda + \mu)$. Donc : $x = \lambda$, $y = 2\lambda + \mu$, $z = \lambda + \mu$. En éliminant $\lambda$ et $\mu$ : $$ \begin{aligned} \lambda &= x \\ \mu &= y - 2\lambda = y - 2x \\ z &= \lambda + \mu = x + (y - 2x) = y - x \end{aligned} $$ Donc $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + z = y\}$ ou encore $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0\}$. ### Passage d'équations à une base ::: {.callout-exercice} ## Exercice Soit $F = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y = 0 \text{ et } z - t = 0\}$. Donner une base de $F$. ::: **Solution :** Les équations donnent : $y = -x$ et $t = z$. Donc $(x,y,z,t) = (x, -x, z, z) = x(1,-1,0,0) + z(0,0,1,1)$. Ainsi $F = \text{Vect}((1,-1,0,0), (0,0,1,1))$ et la famille $\{(1,-1,0,0), (0,0,1,1)\}$ est une base de $F$ (elle est libre et génératrice). Donc $\dim(F) = 2$. ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.31 Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et soit $F$ un sous-espace défini par $p$ équations linéaires indépendantes. Alors : $$ \dim(F) = n - p $$ ::: ## Intersection et somme de sous-espaces vectoriels ### Intersection ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.32 Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors $F \cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$. ::: ::: {.callout-demonstration} ## Démonstration Vérifions les trois conditions : 1. Comme $0_E \in F$ et $0_E \in G$, on a $0_E \in F \cap G$ 2. Si $x,y \in F \cap G$, alors $x,y \in F$ et $x,y \in G$. Donc $x+y \in F$ (car $F$ est un s.e.v.) et $x+y \in G$ (car $G$ est un s.e.v.). Ainsi $x+y \in F \cap G$ 3. Si $x \in F \cap G$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $x \in F$ et $x \in G$. Donc $\lambda x \in F$ et $\lambda x \in G$, d'où $\lambda x \in F \cap G$ ::: ::: {.callout-remarque} ## Remarque **Attention** : En général, $F \cup G$ n'est **pas** un sous-espace vectoriel de $E$. Par exemple, dans $\mathbb{R}^2$, prenons $F = \{(x,0) \mid x \in \mathbb{R}\}$ et $G = \{(0,y) \mid y \in \mathbb{R}\}$. Les vecteurs $(1,0)$ et $(0,1)$ appartiennent à $F \cup G$, mais leur somme $(1,1)$ n'appartient ni à $F$ ni à $G$, donc $(1,1) \notin F \cup G$. ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Dans $\mathbb{R}^3$, soit $F = \{(x,y,z) \mid x + y + z = 0\}$ et $G = \{(x,y,z) \mid x - y = 0\}$. Déterminer $F \cap G$. ::: **Solution :** $(x,y,z) \in F \cap G$ si et seulement si $x + y + z = 0$ et $x - y = 0$. De $x - y = 0$, on tire $y = x$. En reportant dans la première équation : $x + x + z = 0$, donc $z = -2x$. Ainsi $F \cap G = \{(x, x, -2x) \mid x \in \mathbb{R}\} = \text{Vect}((1, 1, -2))$. Donc $\dim(F \cap G) = 1$. ### Somme ::: {.callout-definition} ## Définition 1.33 - Somme de sous-espaces Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. La *somme* de $F$ et $G$, notée $F + G$, est l'ensemble : $$ F + G = \{u + v \mid u \in F, v \in G\} $$ ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.34 $F + G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et on a : $$ F + G = \text{Vect}(F \cup G) $$ ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.35 - Formule de Grassmann Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de dimension finie d'un espace vectoriel $E$. Alors : $$ \dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G) $$ ::: ::: {.callout-demonstration} ## Démonstration Posons $r = \dim(F \cap G)$, $p = \dim(F)$ et $q = \dim(G)$. Soit $\{u_1, \ldots, u_r\}$ une base de $F \cap G$. Par le théorème de la base incomplète, on peut la compléter en une base $\{u_1, \ldots, u_r, f_1, \ldots, f_{p-r}\}$ de $F$ et en une base $\{u_1, \ldots, u_r, g_1, \ldots, g_{q-r}\}$ de $G$. Montrons que la famille $\mathcal{B} = \{u_1, \ldots, u_r, f_1, \ldots, f_{p-r}, g_1, \ldots, g_{q-r}\}$ est une base de $F + G$. **$\mathcal{B}$ est génératrice.** Tout vecteur de $F + G$ s'écrit $x + y$ avec $x \in F$ et $y \in G$. Or $x$ est combinaison linéaire des $u_i$ et des $f_j$, et $y$ est combinaison linéaire des $u_i$ et des $g_k$. Donc $x + y$ est combinaison linéaire des vecteurs de $\mathcal{B}$. **$\mathcal{B}$ est libre.** Supposons que : $$ \sum_{i=1}^r \alpha_i u_i + \sum_{j=1}^{p-r} \beta_j f_j + \sum_{k=1}^{q-r} \gamma_k g_k = 0_E $$ Posons $v = \displaystyle\sum_{k=1}^{q-r} \gamma_k g_k = -\sum_{i=1}^r \alpha_i u_i - \sum_{j=1}^{p-r} \beta_j f_j$. Le membre de droite est dans $F$, et le membre de gauche est dans $G$ (car les $u_i$ sont aussi dans $G$, donc $v = -\sum \alpha_i u_i - \sum \beta_j f_j + 0 \in F$). En fait, reprenons : $v = \sum \gamma_k g_k \in G$ et $v = -\sum \alpha_i u_i - \sum \beta_j f_j \in F$. Donc $v \in F \cap G$. Comme $\{u_1, \ldots, u_r\}$ est une base de $F \cap G$, on écrit $v = \sum_{i=1}^r \delta_i u_i$, d'où : $$ \sum_{k=1}^{q-r} \gamma_k g_k - \sum_{i=1}^r \delta_i u_i = 0_E $$ Par liberté de la base $\{u_1, \ldots, u_r, g_1, \ldots, g_{q-r}\}$ de $G$, on obtient $\gamma_k = 0$ pour tout $k$ et $\delta_i = 0$ pour tout $i$. En reportant dans la relation initiale, il reste $\sum \alpha_i u_i + \sum \beta_j f_j = 0_E$, et par liberté de la base de $F$, tous les $\alpha_i$ et $\beta_j$ sont nuls. Au final, $\mathcal{B}$ est une base de $F + G$ de cardinal $r + (p - r) + (q - r) = p + q - r$. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.9.1 Reprenons l'exercice précédent avec $F = \{(x,y,z) \mid x + y + z = 0\}$ et $G = \{(x,y,z) \mid x - y = 0\}$ dans $\mathbb{R}^3$. On a trouvé $\dim(F \cap G) = 1$. De plus : - $\dim(F) = 3 - 1 = 2$ (une équation) - $\dim(G) = 3 - 1 = 2$ (une équation) Par la formule de Grassmann : $$ \dim(F + G) = 2 + 2 - 1 = 3 $$ Comme $F + G \subset \mathbb{R}^3$ et $\dim(F + G) = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$, on a $F + G = \mathbb{R}^3$. ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Dans $\mathbb{R}^4$, soit $F = \text{Vect}((1,0,1,0), (0,1,0,1))$ et $G = \text{Vect}((1,1,0,0), (0,0,1,1))$. Calculer $\dim(F \cap G)$ et $\dim(F + G)$. ::: ### Somme directe ::: {.callout-definition} ## Définition 1.36 - Somme directe On dit que la somme $F + G$ est *directe*, et on note $F \oplus G$, si $F \cap G = \{0_E\}$. ::: ::: {.callout-proposition} ## Proposition 1.37 Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. $F + G$ est directe 2. $F \cap G = \{0_E\}$ 3. Tout vecteur de $F + G$ s'écrit de manière unique comme $u + v$ avec $u \in F$ et $v \in G$ 4. Si $\{e_1, \ldots, e_p\}$ est une base de $F$ et $\{f_1, \ldots, f_q\}$ est une base de $G$, alors $\{e_1, \ldots, e_p, f_1, \ldots, f_q\}$ est une base de $F \oplus G$ ::: ::: {.callout-corollaire} ## Corollaire 1.38 Si $F + G$ est directe, alors : $$ \dim(F \oplus G) = \dim(F) + \dim(G) $$ ::: ::: {.callout-definition} ## Définition 1.39 - Sous-espaces supplémentaires On dit que deux sous-espaces $F$ et $G$ sont *supplémentaires* dans $E$ si : $$ E = F \oplus G $$ C'est-à-dire : $E = F + G$ et $F \cap G = \{0_E\}$. ::: ::: {.callout-exemple} ## Exemple 1.9.2 Dans $\mathbb{R}^3$, soit $F = \{(x,y,z) \mid z = 0\}$ (le plan $xy$) et $G = \{(x,y,z) \mid x = y = 0\}$ (l'axe $z$). Alors $F$ et $G$ sont supplémentaires car : - Tout vecteur $(x,y,z)$ s'écrit $(x,y,z) = (x,y,0) + (0,0,z)$ avec $(x,y,0) \in F$ et $(0,0,z) \in G$ - $F \cap G = \{(0,0,0)\}$ Donc $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$. ::: ::: {.callout-remarque} ## Remarque **Attention** : Un sous-espace peut avoir plusieurs supplémentaires différents. Par exemple, dans $\mathbb{R}^2$, si $F = \text{Vect}((1,0))$, alors $G_1 = \text{Vect}((0,1))$ et $G_2 = \text{Vect}((1,1))$ sont tous deux supplémentaires de $F$. ::: ::: {.callout-exercice} ## Exercice Dans $\mathbb{R}_3[X]$, montrer que $F = \mathbb{R}_1[X]$ (polynômes de degré $\leq 1$) et $G = \text{Vect}(X^2, X^3)$ sont supplémentaires. :::

Espaces vectoriels

Définitions et exemples

Définition 1.1 - Espace vectoriel réel

Remarque

Exemple 1.1.1 - L’ensemble \(\mathbb{R}\)

Exemple 1.1.2 - L’ensemble \(\mathbb{R}^n\)

Exemple 1.1.3 - Les vecteurs du plan et de l’espace

Exemple 1.1.4 - L’espace des fonctions

Exemple 1.1.5 - L’espace des suites réelles

Proposition 1.2

Démonstration

Sous-espaces vectoriels

Définition 1.3 - Sous-espace vectoriel

Remarque

Proposition 1.4 - Vérification rapide

Démonstration

Remarque

Proposition 1.5

Démonstration

Exemple 1.2.1

Exemple 1.2.2 - Sous-espaces vectoriels classiques

Exercice

Exercice

Exercice

Remarque

L’espace vectoriel des polynômes \(\mathbb{R}[X]\)

Définition 1.6 - Polynôme à coefficients réels

Définition 1.7 - Degré d’un polynôme

Exemple 1.3.1 - Cas classique

Exemple 1.3.2 - Cas particulier

Proposition 1.8

Définition 1.9

Proposition 1.10

Démonstration

Exemple 1.3.3

Dérivation des polynômes

Définition 1.11 - Polynôme dérivé

Proposition 1.12

Exercice

Exercice

Formule de Taylor pour les polynômes

Théorème 1.13 - Formule de Taylor

Exemple 1.3.4

Exercice

Formule de Leibniz

Proposition 1.14

Remarque

Combinaisons linéaires

Définition 1.15 - Combinaison linéaire

Exemple 1.4.1

Exemple 1.4.2

Exercice

Définition 1.16 - Espace vectoriel engendré

Proposition 1.17

Démonstration

Exemple 1.4.3

Exercice

Exercice

Familles génératrices

Définition 1.18 - Famille génératrice

Exemple 1.5.1

Exemple 1.5.2

Remarque

Exercice

Proposition 1.19

Familles libres, familles liées

Définition 1.20 - Famille libre

Remarque

Exemple 1.6.1

Exemple 1.6.2

Proposition 1.21

Démonstration

Proposition 1.22

Démonstration

Exercice

Exercice

Proposition 1.23

Bases et dimension

Définition 1.24 - Base

Remarque